Αν \(f\) συνεχής στο κλειστό \([α,β]\) και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό \( (α,β) \) τότε υπάρχει το πολύ ένα \( ξ \in (α,β) \) ώστε \( f '(ξ)=\displaystyle \frac {f(β)-f(α)}{β-α}\)

Αν \( f \) συνεχής στο \( [α,β] \) και παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \) τότε υπάρχει σημείο \( Μ(ξ, f(ξ))\) με \( ξ \in (α,β) \) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \(f \)να είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ με \(Α(α,f(α)),Β(β,f(β))\).

Αν \( f\) συνεχής στο \([α,β]\), παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \) και \( f(α)>f(β) \) τότε υπάρχει \( ξ \in (α,β) \) ώστε \( f '(ξ)<0 \)

Αν \( f \) παραγωγίζεται στο \( (α,β) \) και δεν υπάρχει \( ξ \in (α,β) \) ώστε \( f '(ξ)=\displaystyle \frac {f(β)-f(α)}{β-α} \) τότε η \( f \) δεν είναι συνεχής στο \( [α,β]\)

Αν για μια συνάρτηση \( f \) ισχύει το θεώρημα Rolle σε ένα διάστημα \( [α,β]\) τότε ισχύει και το θεώρημα μέσης τιμής στο \( [α,β]\)

Αν η \( f\) είναι συνεχής στο διάστημα Δ και \( f '(x)=0\) για κάθε x στο εσωτερικό του Δ τότε η \( f\) είναι σταθερή σε όλο το Δ.

Αν \( f,g\) είναι συνεχείς στο διάστημα Δ και \( f '(x)=g '(x)\) για κάθε x στο εσωτερικό του Δ τότε υπάρχει σταθερά c ώστε \( f(x)=g(x)+c\) για κάθε \( x \in Δ\)

Αν η \( f '(x)=0\) για κάθε x στο \(Δ=(-\infty ,0) \cup (0,+\infty) \) τότε η \( f\) είναι σταθερή στο Δ.

Αν \(f '(x)=g '(x)\) για κάθε \( x \in R\) τότε υπάρχει σταθερά c ώστε \( f(x)=g(x)+c\) για κάθε \( x \in R\)

Αν \( f ''(x)=0 \) για κάθε \(x \in R\) τότε \( f '(x)=c\) για κάθε \(x \in R\)

Αν \( f\) παραγωγίσιμη στο \((α,β)\) ισχύει η ισοδυναμία \( f '(x)=0 \Leftrightarrow f(x)=c\) στο \((α,β)\)

Αν η \(f\) ορίζεται σε ένωση διαστημάτων \( Δ_1 \cup Δ_2\) και \( f '(x)=0\) για κάθε \( x \in Δ_1 \cup Δ_2\) τότε η \(f\) είναι αναγκαστικά σταθερή στο \(Δ_1 \cup Δ_2\)

Αν \(f '(x)=g '(x)\) για κάθε \( x \in R\) τότε η γραφική παράσταση της \(f\) προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(g\)