Αν \(f\) συνεχής στο διάστημα Δ και \( f '(x)>0 \) για κάθε \(x\) στο εσωτερικό του Δ τότε η \( f\) είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

Αν η \(f\) συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε υποχρεωτικά \(f '(x)>0\) για κάθε \( x\) στο εσωτερικό του Δ.

Αν \( f\) είναι γνησίως αύξουσα σε δύο διαστήματα \(Δ_1,Δ_2\) τότε θα είναι γνησίως αύξουσα και στην ένωσή τους \(Δ_1 \cup Δ_2\)

Αν η \(f\) είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα σε διάστημα Δ τότε η \( f '\) δεν είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ.

Αν η \(f\) ορίζεται σε διάστημα Δ και \(f '(x)<0\) για κάθε \(x\) στο εσωτερικό του Δ, τότε η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Αν \( f '(x) \geq 0\) για κάθε \( x \in R\) με την \(f '\) να μηδενίζεται σε διακεκριμένες τιμές που δεν δημιουργούν διάστημα, τότε η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο R.

Αν \( f '(x)>0\) για κάθε \( x \in R^*\) τότε η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο \( R^*\)

Αν \(f\) συνεχής στο \([α,β]\) και \(f '(x)<0\) για κάθε \(x \in (α,β) \) τότε η \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \( [α,β] \)

Αν \(f '\) συνεχής στο \(Δ=(α,β)\) και \(f '(x) \neq 0\) για κάθε \(x \in (α,β) \) τότε η \(f\) είναι γνησίως μονότονη στο \( (α,β)\)

Αν η \(f\) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και \(f '(x)>0\) για κάθε \(x\) στο εσωτερικό του Δ, τότε αναγκαστικά πρέπει η \(f\) να είναι συνεχής στο Δ.