Aν μια συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \( [α,β] \) και \( f(α)=f(β) \) τότε υπάρχει ένα \( ξ \in (α,β) \) τέτοιο ώστε \( f '(ξ)=0 \)

Αν \( f \) συνεχής στο \( [α,β] \), παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \) και \( f(α)=f(β) \) τότε υπάρχει σημείο \( Μ(ξ, f(ξ))\) με \( ξ \in (α,β) \) ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f να είναι παράλληλη στον άξονα x'x.

Αν \( f\) παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \), ισχύει \( f(α)=f(β) \) και υπάρχει \( ξ \in (α,β) \) ώστε \( f '(ξ)=0 \) τότε η \( f \) είναι συνεχής στο \( [α,β] \)

Αν η συνάρτηση \( f \) παραγωγίζεται στο R και η εξίσωση \( f(x)=0 \) έχει δύο ρίζες, τότε η \( f '(x)=0 \) έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

Αν \( f '(x) \neq 0 \) για κάθε \( x \in R\) τότε η \(f\) έχει το πολύ μία ρίζα.

Δεν μπορεί για μια συνάρτηση να ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle χωρίς να ισχύουν οι προϋποθέσεις του.

Αν \( f ''(x) \neq 0 \) για κάθε \( x \in R \) η \(f\) μπορεί να έχει τρείς ρίζες.

Αν η \(f\) είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο R, τότε έχει ένα τουλάχιστον \( ξ \in R \) ώστε \( f '(ξ)=0 \)

Αν \( f \) συνεχής στο \( [α,β] \), παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \) και \( f(α) \neq f(β) \) τότε δεν υπάρχει \( ξ \in (α,β) \) ώστε \( f '(ξ)=0 \)

Αν μια συνάρτηση \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο R και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x'x σε δύο σημεία, τότε η γραφική παράσταση της \(f'\) τέμνει τον άξονα x'x σε τουλάχιστον ένα.

Aν μια συνάρτηση \(f\) είναι συνεχής στο \( [α,β] \), παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \) και \( f '(x) \neq 0 \) για κάθε \( x \in (α,β) \) τότε \( f(α) \neq f(β) \)

Αν η \(f\) ορίζεται στο \( [α,β] \) με \( f(α)=f(β) \) και δεν υπάρχει εφαπτομένη της \( C_f \) παράλληλη στον άξονα x'x, τότε η \(f\) δεν είναι ούτε συνεχής στο \( [α,β] \) ούτε παραγωγίσιμη στο \( (α,β) \)