Αν μια συνάρτηση \( f \) είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής \( (α,x_0) \) ενώ δεν ορίζεται σε διάστημα \( ( x_0, β) \) και υπάρχει το όριο στο \( x_0 \) ισχύει \( \displaystyle \lim_{x \to x_0}f(x)= \displaystyle \lim_{x \to x_0^{-}}f(x) \)

\( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{h \to 0} (f(x_0+h)=l \)

Αν υπάρχει το \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) \) τότε κατ' ανάγκη υπάρχουν τα όρια \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) \) και \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) \)

Αν \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) <0 \) τότε \( f(x)<0 \) κοντά στο \( x_0 \)

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ημx}{x}=0 \)

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{συνx-1}{x}=0 \)

Αν \( f(x)>0 \) κοντά στο \( x_0 \) και \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l \) τότε \( l>0 \)

Αν \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} |f(x)|=l \) τότε κατ' ανάγκη θα ισχύει \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l \) ή \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=-l \)

Αν \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) < \displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) \) τότε \( f(x) < g(x) \) κοντά στο \( x_0 \)

Αν οι συναρτήσεις \( f, g \) έχουν όριο στο \( x_0 \) και ισχύει \( f(x) < g(x) \) κοντά στο \( x_0 \), τότε ισχύει \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) \leq \displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) \)

Για κάθε \( x \in R \) ισχύει \( |ημx| \leq |x| \)

Αν \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) < 0 \) τότε \( |f(x)|=-f(x) \) κοντά στο \( x_0 \)

\( |ημx|=|x| \Leftrightarrow x=0 \)

Αν ισχύει \( h(x) \leq f(x) \leq g(x) \) κοντά στο \( x_0 \) και \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} h(x) \neq \displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) \) τότε δεν υπάρχει το \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) \)

Ισχύει \( \displaystyle \lim_{x \to 0} (x \dot ημ \frac{1}{x})=0 \)

Αν \( α \neq 0 \) ισχύει \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ημ(αx)}{x}=α \)

Αν \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} |f(x)|=0 \) τότε ισχύει \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=0 \)

Αν ισχύει \( |f(x)| \leq |x| \) για κάθε \( x \in R \) και υπάρχει το όριο της \( f \) στο 0 τότε \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=0 \)

Αν \( f(x) < \displaystyle \frac{συνx-1}{x} \) κοντά στο 0 και το \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) \) υπάρχει, τότε \( \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) \leq 0 \)

Αν η συνάρτηση \( f \) ορίζεται στο \( x_0 \) και υπάρχει το \( \displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) \) τότε \( f(x_0)=\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) \)