Αν \(f\) συνεχής τότε \( \displaystyle \int^α_α f(x)\, dx=0\)

Αν \( f \) συνεχής στο \([α,β]\) ισχύει \( \displaystyle \int^β_α f(x) \,dx=\int^α_β f(x)\,dx\)

Tο \( \displaystyle \int^β_α f(x) \,dx\) με \( f \) συνεχή στο \([α,β]\) είναι αριθμός.

Αν \( f \) συνεχής στο διάστημα Δ και \(α,β,γ \in Δ\) τότε \( \displaystyle \int^β_α f(x) \,dx=\int^γ_α f(x)\,dx+\int^γ_β f(x)\,dx \)

Αν \( f \) συνεχής στο διάστημα Δ και \(α \in Δ\) τότε \( \left( \displaystyle \int^x_α f(t) \,dt \right)'=f(x)\)

Αν \( f \) συνεχής στο διάστημα \( [α,β]\) και \(f(x)\geq 0\) χωρίς να είναι παντού μηδέν, τότε \( \displaystyle \int^β_α f(x) \,dx>0\)

\( \displaystyle \int^β_α c \,dx=c(β-α) \)

Αν \( f \) συνεχής στο διάστημα \( [α,β]\) και \(G\) παράγουσα της \(f\) στο \([α,β]\), τότε \( \displaystyle \int^β_α f(x) \,dx=G(α)-G(β)\)

Αν η \( f \) έχει συνεχή παράγωγο στο διάστημα \( [α,β]\) τότε \( \displaystyle \int^β_α f '(x) \,dx=f(β)-f(α)\)

Το εμβαδόν του χωρίου \(Ω\) μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνεχούς συνάρτησης \( f\), του άξονα \(x'x\) και των ευθειών \(x=α,\: x=β\) με \(α<β\) είναι \( Ε(Ω)=\displaystyle \int^β_α f(x) \,dx\)

Αν \(f,g\) συνεχείς στο \([α,β]\) τότε \( \displaystyle \int^β_α \left( f(x) g(x)\right) \,dx=\int^β_α f(x)\,dx\, \int^β_α g(x) \, dx\)

Αν \(f ',g '\) συνεχείς στο [α,β] τότε \( \displaystyle \int^β_α f(x)g '(x)dx=\) \([f(x)g(x)]^β_α-\int^β_α f '(x)g(x)dx\)

Αν \(f '\) συνεχής στο [α,β] τότε \( \displaystyle \int^β_α f(x)dx= [xf(x)]^β_α-\int^β_α xf '(x)dx\)

Αν η \(f \) είναι συνεχής στο R περιττή συνάρτηση τότε \( \displaystyle \int^α_{-α} f(x)dx=0\)

Το ολοκλήρωμα \( \displaystyle \int^β_α f(x)dx\) γίνεται μηδέν μόνο όταν \(α=β\) ή όταν \(f(x)=0\) για κάθε \(x \in [α,β]\)

Αν η \(f:R \rightarrow R\) έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και παρουσιάζει ακρότατα στα \(α, β\) τότε \( \displaystyle \int^β_α f ''(x)dx=0\)

Αν \(f, g \) συνεχείς στο \([α,β]\) και ισχύει \( \displaystyle \int^β_α f(x)dx=\int^β_α g(x)dx\) τότε \(f(x)=g(x)\) για κάθε \( x \in [α,β]\)

Αν \(f\) συνεχής στο \([α,β]\) και \( \displaystyle \int^β_α f(x)dx \geq 0\) τότε \( f(x)\geq 0 \) για κάθε \(x \in [α,β]\)

Αν \(f, g\) συνεχείς στο \([α,β]\) και \( f(x)\geq g(x) \) για κάθε \(x \in [α,β]\) τότε \( \displaystyle \int^β_α f(x)dx \geq \int^β_α g(x)dx\)

Αν \(f\) συνεχής στο \([α,β]\) και \( \displaystyle \int^β_α f(x)dx<0\) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα \(x_0 \in [α,β]\) με \(f(x_0)<0\)

Αν \(f\) συνεχής στο \([α,β] \), το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των \( C_f, x'x, x=α, x=β\) είναι \(Ε(Ω)=\displaystyle \int^β_α f(x)dx\)

Αν \(f\) συνεχής στο \([α,β]\), το \( \displaystyle \int^β_α f(x)dx\) είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων μεταξύ \(C_f, x'x\) που βρίσκονται πάνω από τον \(x'x\) μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα \(x'x\)

Αν \(f, g\) συνεχείς στο \([α,β]\) τότε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ \( C_f, C_g, x=α, x=β\) είναι \( Ε(Ω)=\displaystyle \int^β_α |f(x)-g(x)|dx\)

Αν \(f\) συνεχής στο \([α,β] \) και \( f(x)<0\) για κάθε \(x \in [α,β]\), τότε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των \( C_f, x'x, x=α, x=β\) είναι \(Ε(Ω)=\displaystyle \int^α_β f(x)dx\)

Αν \(Ε_1, Ε_2, Ε_3\) εμβαδά των χωρίων του παρακάτω σχήματος, το ολοκλήρωμα \( \displaystyle \int^2_{-2} f(x)dx \) είναι ίσο με: