Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο \(x_0\) του πεδίου ορισμού της αν υπαρχει το όριο \(\displaystyle \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

Αν f παραγωγίσιμη στο \(x_0\) τότε \(f '(x_0)=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) τότε είναι και συνεχής στο \(x_0\)

Αν η f δεν είναι συνεχής στο \(x_0\) τότε δεν είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\)

Η f είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) και \(\displaystyle \lim_{x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

Αν η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) τότε δεν μπορεί να είναι συνεχής στο \(x_0\)

Η συνάρτηση \(f(x)=|x|\) δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0

Αν f παραγωγίσιμη στο \(x_0\) του πεδίου ορισμού της τότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο \(Μ(x_0,f(x_0))\) είναι \(y-f(x_0)=f '(x_0)(x-x_0)\)

H f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα \((α,β)\) αν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του \((α,β)\)

Η f είναι πραγωγίσιμη στο \([α,β]\) αν είναι παραγωγίσιμη στο \((α,β)\) και τα όρια \( \displaystyle \lim_{x \to α^+}\frac{f(x)-fα)}{x-α}\) και \(\displaystyle \lim_{x \to β^-}\frac{f(x)-f(β)}{x-β}\) είναι πραγματικοί αριθμοί

Αν f, g παραγωγίσιμες στο \(x_0\) τότε και η \(f \cdot g\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) και ισχύει \((f \cdot g)'(x_0)=f '(x_0) \cdot g '(x_0)\)

\((x^v)'=vx^{v-1}\) , όταν \( x\in R, v \in N-\{0,1\}\)

\((\sqrt x)'=\displaystyle \frac {1}{\sqrt x}, x>0\)

\((εφx)'=\displaystyle \frac{1}{συν^2 x}\) όταν \( x \in R-\{x/συνx=0\}\)

Αν g παραγωγίσιμη στο \(x_0\) και f παραγωγίσιμη στο \(x_0\) τότε η \( f \circ g\) παραγωγίζεται στο \(x_0\) και ισχύει \( (f \circ g)'(x_0)=f '(g(x_0))\cdot g '(x_0) \)

H συνάρτηση \(f(x)=x^α\) με \( α\in R-Z\) είναι παραγωγίσιμη στο \((0,+\infty)\) και ισχύει \( (x^α)'=αx^{α-1}\)

Αν \(α>0\) τότε \((α^x)'=α^x\)

Aν η συνάρτηση \(f+g\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) τότε και οι συναρτήσεις \(f, g \) είναι παραγωγίσιμες στο \(x_0\)

Για κάθε \(x\neq 0\) ισχύει \((ln|x|)'=\displaystyle\frac {1} {x}\)

\((ημf(x))'=συνf(x)\)

Αν f παραγωγίσιμη και \(f(x)\neq 0\), ισχύει \( \displaystyle (\frac{1}{f(x)} )'=-\displaystyle \frac{f '(x)}{f^2(x)}\)

Η συνάρτηση \(f(x)=\sqrt x\) δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0

Αν \(α>0\) τότε \((α^x)'=a^x lnα\)

\( (ημx^2)'=2x\cdot συνx^2\)

\( (συν\displaystyle\frac{π}{2})'=-ημ\displaystyle \frac{π}{2}\)

\( (ημ\displaystyle\frac{π}{2})'=συν\displaystyle \frac{π}{2}\)