Έστω \(f\) παραγωγίσιμη στο \( (α,β)\) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο \( x_0\) στο οποίο όμως είναι συνεχής. Αν \( f '(x)>0\) στο \( (α,x_0)\) και \( f '(x)<0\) στο \( (x_0,β)\) τότε το \( f(x_0)\) είναι τοπικό μέγιστο της \(f\)

Έστω \(f\) παραγωγίσιμη στο \( (α,β)\) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο \( x_0\) στο οποίο όμως είναι συνεχής. Αν η \( f '(x)\) διατηρεί πρόσημο στο \( (α,x_0) \cup (x_0,β)\) τότε το \( f(x_0)\) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η \(f\)είναι γνησίως μονότονη στο \( (α,β)\)

Μια συνάρτηση \( f\) με πεδίο ορισμού το Α, παρουσιάζει στο \( x_0 \in A\) τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει \( δ>0\) με \( f(x) \geq f(x_0)\) για κάθε \( x \in A \cap (x_0-δ,x_0+δ)\)

Έστω \(f\) ορισμένη σε διάστημα Δ και \(x_0\) εσωτερικό σημείο του Δ στο οποίο παρουσιάζεται ακρότατο. Αν η \(f\) είναι παραγωγίσιμη στο \(x_0\) τότε \( f '(x_0)=0\)

Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η \(f\) δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία.

Πιθανά σημεία ακρότατων μιας συνάρτησης είναι μόνο τα κρίσιμα σημεία της.

Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης είναι το ολικό της μέγιστο.

Αν \(f '(x_0)=0\) τότε στη θέση \(x_0\) η \(f\) έχει τοπικό ακρότατο

Αν η \(f\) παραγωγίζεται στο \([α,β]\) και για κάποιο εσωτερικό σημείο \(x_0 \in (α,β)\) ισχύει \( f '(x_0) \neq 0\) τότε η \(f\) δεν μπορεί να έχει ακρότατο στο \(x_0\)

Κάθε τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης είναι μεγαλύτερο από κάθε τοπικό της ελάχιστο

Πιθανές θέσεις ακρότατων μιας συνάρτησης \(f\) σε ένα διάστημα Δ είναι τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η \( f '\) μηδενίζεται, τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η \( f '\) δεν υπάρχει και τα άκρα του Δ αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της.

Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.

Στα σημεία που μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα η παράγωγός της είναι μηδέν.

Αν η εφαπτομένη μιας γραφικής παράστασης συνάρτησης σε ένα σημείο της είναι οριζόντια, τότε η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο αυτό.